字数

1672 字

阅读时间

9 分钟

随机事件&概率

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• A,B互不相容，AB是空集
  • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
• A 发生而 B 不发生
  • $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$
• 小短横多，想对偶率

---

切比雪夫不等式&中心极限定理

一、切比雪夫不等式

$E(X)=\mu$，方差 $D(X)={\sigma }^2$

$$P(|X-\mu |\ge \epsilon )\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}.$$

二、中心极限定理

• 二项分布的中心极限定理
• 独立同分布的中心极限定理（出现和或者平均值）

数字特征

离散型分布律：

• 方差公式：DX = $E{X}^2$ - $(EX{)}^2$（先求平方的期望） **连续型**概率密度数字特征：
• 题型2：
  • 协方差Cov($X,Y$) = E$XY$-E$X$E$Y$乘积的期望减去期望的乘积。
  • 协方差对称性、和常数的协方差为0、常数可以堆在前面
  • D($X$$\pm$$Y$) = DX +DY$\pm$ 2Cov($X$,$Y$)
  • X,Y相互独立，协方差归零
• 题型3：相关系数
  • 协方差除以X,Y的标准差
  • 等于0不相关
• 题型4：不相关与独立
• 题型5：二维正态分布

二维随机变量及分布

二维离散（X,Y）

• 二维离散（X,Y）：联合分布律（先求取值，再求概率）
• 二维离散（X,Y）：X(或Y)边缘(一维)分布律（先求取值，再求概率）
• 二维离散（X,Y）：条件概率
• 二维离散（X,Y）：判断X和Y的独立性，任意概率等于边缘相乘。
• 二维离散（X,Y）：求Z = XY的分布律
• 二维连续随机变量：区域
• 二维连续随机变量： 连续型X和Y相互独立，联合密度等于各自一维密度的乘积，范围拼凑
• 二维连续随机变量：求边缘概率密度
• 二维**连续**随机变量：求条件概率密度
• 二维连续随机变量：判断X和Y的独立性

二维均匀分布

独立随机变量的最大值和最小值

离散型随机变量分布律

求分布律（非负、规范）：先求取值，再求概率

常见离散型分布求概率

二项分布：独立、n次试验、每次试验只有两种结果

$$X\sim B(n,p)$$$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$$

连续型随机变量相关计算

• 知道分布，求pdf

1. 均匀分布

X~U(a,b)

$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& \text{for }a\le x\le b\\ 0& \text{其他}\end{array}$$

连续型变量x的函数的分布

先找自变量y的分段点

3. 指数分布

$$X\sim \text{Exp}(\lambda )$$$$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$$$$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$$$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

---

1.2 有放回类题目

盒子中有5红6白共11个球，11个球摸起来是一样的， 现有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？

K种颜色的球，代号分别为 $A_1,A_2,\dots ,A_k$ 抽一次，出现的概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_k$

求摸出各种球的个数分别为 $n_1,n_2,\dots ,n_k$

$$P=\frac{(n_1+n_2+\cdots +n_k)!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}{p}_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$$

2种颜色的球，代号分别为 {红、白} 抽一次，出现的概率分别为 $\frac{5}{11},\frac{6}{11}$

求摸出各种球的个数分别为

$$P=\frac{(2+3)!}{2!3!}{\left(\frac{5}{11}\right)}^2{\left(\frac{6}{11}\right)}^3$$

---

1.4 全概率公式&贝叶斯公式

相互独立的两个事件 A 和 B，同时发生的概率是 P(AB) = P(A) P(B)

设 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ 是样本空间的一个划分（即互不相容且并集为整个样本空间），且 $P(B_i)>0$。 则对任意事件 $A$，有：

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)$$

贝叶斯公式在上述条件下，对于任意 $j=1,2,\dots ,n$，有：

$$P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)}}$$

其中 $P(B_j\mid A)$ 称为后验概率，$P(B_j)$ 称为先验概率。

---

中心极限定理求概率

基础求导公式

$$\begin{array}{rl}(C{)}^{\prime }& =0\\ (x^{\mu }{)}^{\prime }& =\mu x^{\mu -1}\\ (\sqrt{x}{)}^{\prime }& =\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ {\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }& =-\frac{1}{x^2}\\ (a^x{)}^{\prime }& =a^x\ln a(a>0,a\ne 1)\\ (e^x{)}^{\prime }& =e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)\\ (\ln x{)}^{\prime }& =\frac{1}{x}\\ (\sin x{)}^{\prime }& =\cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =-\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& ={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\\ (\sec x{)}^{\prime }& =\sec x\tan x\\ (\csc x{)}^{\prime }& =-\csc x\cot x\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }& =\frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }& =-\frac{1}{1+x^2}\\ (u\pm v{)}^{\prime }& =u^{\prime }\pm v^{\prime }\\ (uv{)}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ (Cu{)}^{\prime }& =C{u}^{\prime }(C\text{为常数})\\ {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ [f(g(x)){]}^{\prime }& =f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

基础积分公式

$$\begin{array}{rl}\int kdx& =kx\\ \int x^{\mu }dx& =\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}(\mu \ne -1)\\ \int \frac{1}{x}dx& =\ln |x|\\ \int e^{x}dx& =e^x\\ \int a^{x}dx& =\frac{a^x}{\ln a}(a>0,a\ne 1)\\ \int \sin xdx& =-\cos x\\ \int \cos xdx& =\sin x\\ \int \tan xdx& =-\ln |\cos x|\\ \int \cot xdx& =\ln |\sin x|\\ \int \sec xdx& =\ln |\sec x+\tan x|\\ \int \csc xdx& =\ln |\csc x-\cot x|\\ \int {\sec }^{2}xdx& =\tan x\\ \int {\csc }^{2}xdx& =-\cot x\\ \int \sec x\tan xdx& =\sec x\\ \int \csc x\cot xdx& =-\csc x\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx& =\arctan x\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx& =\arcsin x\\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx& =\arcsin \frac{x}{a}(a>0)\\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx& =\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}(a>0)\\ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx& =\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|(a>0)\\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx& =\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|\\ \int \ln xdx& =x\ln x-x\\ \int \arcsin xdx& =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}\\ \int \arccos xdx& =x\arccos x-\sqrt{1-x^2}\\ \int \arctan xdx& =x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)\end{array}$$$$\mathbf{\text{积分运算法则：}}$$$$\begin{array}{rl}\int [f(x)\pm g(x)]dx& =\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\\ \int kf(x)dx& =k\int f(x)dx(k\text{为常数})\\ \int f(g(x))g^{\prime }(x)dx& =\int f(u)du(\text{换元法},u=g(x))\\ \int udv& =uv-\int vdu(\text{分部积分})\end{array}$$$$\text{\#\# 贡献者 <NolebaseGitContributors /> \#\# 文件历史 <NolebaseGitChangelog />}$$