矩母函数&简单应用

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求高阶矩。

测度论

方便求矩
讨论随机变量和的分布

矩母函数定义： $G_{X} (s)$ 。求期望，M(t) = E $e^{t x}$ 。

① M_{X}^{n} (t) = E (X^{n} e^{t X}) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{n} e^{t x} f_{X} (x) d x

t = 0 时 ， 原 点 矩 ： M_{X}^{n} (0) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{n} f_{X} (x) d x

M_{X} (t) = E [e^{t X}] = \sum_{x} e^{t x} p (x)

例1.设X~b(n,p)，求它的矩母函数。解：

M (t) = E e^{t x} = \sum_{k = 0}^{n} e^{t k} C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

分析：这是离散分布

例2.设X~P( $λ$ )，解：分析：

矩母函数性质1：随机变量X,Y相互独立， $M_{X + Y} = M_{X} (t) M_{Y} (t)$
矩母函数性质2：
矩母函数性质3：

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G4OM-ES

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