统计学三大分布

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• 卡方分布的定义：n个标准正态平方求和就是卡方
  • $X_1^2+X_2^2+X_3^2+\dots \dots +X_n^2$ ~ $X^2(n)$
  • $X_1^2$ ~$X^2(1)$
• 卡方分布从几何上来看：将$X_1$到$X_n$看作一个n维的向量。开方分布就是这个向量的长度的平方
• 推导卡方分布的概率密度函数【自主推导思考：!】
• 卡方分布的性质
  1. 可加性：随机变量独立。
     • $X_m^2+X_n^2$ ~ $X_{m+n}^2$
  2. 卡方分布期望是n，方差是2n【自主推导思考：!】
• 卡方分布的图像(fat tire)

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• t分布的定义：分子是标准正态分布，分母是卡方分布除以自由度n的开方$\sqrt{\frac{Y}{n}}$
  • 自由度n和卡方分布Y挂钩
  • X~N(0,1)（服从标准正态分布），Y~$X_n^2$（服从自由度为n的卡方分布）
  • 标准形式：$\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$
• 推导t分布的概率密度函数【自主推导思考：!】
• t分布的图像
  1. PDF是偶函数
  2. PDF关于y轴对称

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F分布($\frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}$ $\sim$ F($n_1$,$n_2$)) 卡方比卡方 卡方X除以第一自由度$n_1$比上卡方Y除以第二自由度$n_2$

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分布族

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统计量数字特征

• 总体：随机变量X
• 样本：大写字母。
• 样本值：小写字母。
• 样本容量n：
• 统计量：没有未知参数的样本函数
• 统计值：

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G4OM-ES

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